Grundläggande akustik

Vibrerande system och resonans

Alla föremål som är uppbyggda av materia kan börja vibrera när energi tillsätts. Varje enskilt föremål kan sägas vibrera på ett naturligt sätt. Vad som bestämmer dessa toner eller så kallade egenfekvenser kommer vi nu att gå igenom.

Ett traditionellt sätt att beskriva ett vibrerande system är med hjälp av ett massa-fjädersystem enligt figur 2.1 nedan. Då massan ligger still så befinner sig systemet i balans och kraften från fjädern är lika stor som kraften som orsakas av gravitationen. Om vi tillsätter en extra kraft exempelvis genom att dra kulan lodrätt nedåt och därefter släpper händer något anmärkningsvärt, nämligen att systemet börjar gunga med en viss naturlig frekvens. Fjädern kommer att dra kulan förbi sitt jämviktsläge och därefter kommer gravitationen dra kulan neråt för att återigen passera sitt jämviktsläge och detta skeende återupprepas. Vi har beskådat ett vibrerande system. Hur snabbt denna återupprepning sker är beroende på kulans massa m samt fjäderns styvhet K. Frekvensen f, dvs. antalet svängningar (återupprepningar) per sekund fås genom sambandet nedan och anges i hertz (Hz) efter 1800-tals fysikern Heinrich Rudolf Hertz. Om man utför detta experiment märker man snart att svängningarna minskar för att slutligen upphöra, vilket kommer av energiförluster som beror på friktionen och andra förlustmekanismer. Då amplituden (storleken) på svängningar i systemet minskar säger man att systemet är dämpat och hur snabbt detta sker bestäms av systemets dämpkonstant. Andra typer av vibrerande system kan exempelvis vara en RLC-krets, enkel pendel eller en helmholtz-resonator.
Vi byter ut kulan mot en platta och tvingar systemet att svänga med hjälp av en högtalare enligt figur 2.2a. Med exempelvis en tongenerator styr vi frekvensen till högtalaren som försöker sätta plattan i rörelse. Genom att göra ett frekvenssvep kan man observera plattans förflyttning och plotta denna reaktion som funktion av frekvensen. En typisk sådan graf kan ses i figur 2.2b och kallas för vibrationskänslighetsgraf och representerar systemets överföringsfunktion. Grafens centerfrekvens motsvarar systemets resonansfrekvens och styrs dels av massan och dels av fjäderkonstanten. Bandbredden avläses minus 3 dB från maximum och styrs av systemets inre friktion. Styvare fjäder och mindre massa ger högre frekvens. En större friktion ger ökad bandbredd och vice versa. När högtalarens frekvens motsvarar systemets naturliga frekvens uppstår ett maximum av energiöverföring och resonans råder.

Detta experiment är inte så lätt att utföra praktiskt men är ett sätt att teoretiskt förklara resonans. Bilden ovan visar enbart en massa som endast kan röra sig vertikalt i en dimension vilket gör att det endast förekommer en mod, dvs. en resonanstopp. Genom att utöka systemet med en massa och ytterligare två fjädrar och därefter fästa dessa enligt figur 2.3 och 2.4, uppstår fler svängningsmöjligheter. De två massorna kan antingen röra sig åt samma håll eller tvärt emot varandra om vi betraktar dem endimensionellt. Detta ger upphov till två resonansmoder med olika frekvens. Den lägsta frekvensen uppstår då de båda massornas rörelse är i fas och beräknas enligt ekvation 2.2. Då massornas rörelse är i motfas beräknas frekvensen istället enligt ekvation 2.3. En sådan våg där massorna svänger i vågens utbredningsriktning kallas för longitudinell.
Om vi låter massornas rörelse röra sig vertikalt uppkommer det två moder till på liknande sätt som ovan. Även här är systemets högsta frekvens när massorna rör sig i olika riktning. En sådan våg där massorna svänger vinkelrätt mot utbredningsriktningen kallas för transversell. Vilken eller vilka resonansmoder som sätts i rörelse är beroende av hur energin exciteras i systemet. Vi återkommer till detta senare.

Hittills har konstaterats att om vi utökar systemet med fler massor så ökar antalet moder. Antalet resonansfrekvenser är också beroende av hur många dimensioner systemet tillåts svänga i. Alltså, ett idealt system med n stycken olika masselement kommer att ge n stycken moder i varje tillåten dimension. En strängs fysikaliska beteende kan matematiskt förklaras just på det sättet.