Sträng

En sträng kan ses som ett system enligt ovan där massantalet blir oändligt eller väldigt stort. Detta innebär teoretiskt att strängen kommer att ha oändligt många moder vilket inte riktigt är sant i verkligheten. Ur ett matematiskt perspektiv har en ideal sträng inte någon styvhet utan det krävs att den sätts i spänning för att kunna vibrera. Det som bestämmer resonansfrekvensen för en sträng är dess längd, massa och spänning (och randvillkor). Ett exempel på hur man räknar ut grundtonen f0 för en sträng ses i ekvation 2.4 dar c ar hastigheten i strängen, my ar massa per längdenhet och T ar strängens spänning.



Vi har en 650 mm lång nylonsträng som har radien 1mm, densiteten 1150 kg/m3 och som är spänd med kraften 41,47 N. Grundtonen blir således:
vilket ungefär motsvarar den låga E-strängen (E2) på en gitarr.

Gitarrsträngen i bilden ovan har två fästpunkter i ändarna som inte rör sig. I verkligheten sitter strängen fäst i sadeln och stallet på gitarren som inte är helt rigida utan rör sig med svängningarna. Detta villkor kan man bättre approximera genom att visualisera strängen fäst i en massa. Detta blir betydligt mer komplext och tas inte upp här. Den blå färgen i figur 2.5 visar att rörelseförflyttningen är liten och kallas för nod. Den röda färgen visar strängens maximala utslag och kallas för antinod. Dessa färgrepresentationer är bra att lägga på minnet då dessa kommer att följa med framöver för att visa var noder och antinoder befinner sig i olika resonatorer.

Som tidigare nämnts kan en sträng svänga i flera moder än den ovan nämnda grundtonen. Vid nästa resonans svänger strängen mellan tre noder (en på mitten och två i ändarna) och vi erhåller två antinoder. Denna frekvens är en fördubbling av grundtonen. I vårt exempel ovan blir alltså den första övertonen två gånger 82,4 Hz vilket i musiksammanhang benämns som en ren oktav. Nästa mod, den tredje resonansen, innehåller en halv våglängd till och därmed tre antinoder. Denna frekvens blir således tre gånger 82,4 Hz och motsvaras av en oktav plus en ren kvint. Eftersom dessa toner är multiplar av grundtonen kallar vi dessa för harmoniska övertoner. I rent akustiska sammanhang talar man istället om deltoner. Sambandet mellan deltonerna visas i figur 2.6 samt ekvation 2.5. Vi ska analysera denna figur lite noggrannare då liknande resonemang går att tillämpa på andra resonatorer än enbart strängen.

Till vänster i figur 2.6 ser vi strängens amplitud i tidsdomänen och till höger är dess motsvarighet i frekvensdomänen. En sinussvängning i tidsplanet motsvaras alltid av en impuls vid motsvarande frekvens i frekvensplanet. Hur vet man då i vilken eller vilka moder en sträng kommer att svänga i? Detta är helt beroende på hur och var energin exciteras i strängen. Det förhåller sig nämligen så att en resonans får maximal rörelse då den exciteras mitt på en antinod. Om vi istället försöker excitera en resonansfrekvens i dess nod börjar den inte svänga alls i ett idealt linjärt system. Resultatet av detta blir att ju närmre en antinod exciteringen sker ju större blir amplituden och vice versa. De tre nedersta figurerna till vänster visar ett exempel på en ideal gitarrsträng som knäpps vid tre olika ställen. Till höger visas det motsvarande spektrumet i frekvensplanet. Observera att frekvenssvaret är förenklat och att amplituden på deltonerna egentligen minskar med frekvensen. Det vi kan utläsa ur denna bild är alltså att om vi knäpper strängen på mitten så kommer inte den andra, fjärde, sjätte osv. deltonen att sättas i svängning. Exciteras strängen istället vid en tredjedel av längden kommer var tredje delton inte att sättas i rörelse. Vi har alltså konstaterat att olika resonansmoder sätts i svängning beroende på placeringen där energin tillsätts systemet.



Vi har här endast betraktat strängens böjande resonanser men det förekommer också longitudinella och vridande resonanser som försummas i denna text.